수학을 통해서 세상을 발전시켜온 역사를 되짚고
수가 무엇인지에 대한 궁극적인 질문에 답하다!

수학은 인류에게 어떤 선물을 주었을까?
수학으로 세상을 말한다. 쉽고 재밌는 수학과 철학 이야기를 담은 에세이《아빠의 수학여행》으로 독자들과 소통하고, 수학자들의 난제 중 하나인 ‘소수’를 파헤친 책 《소수 공상》과 수학콘서트 ‘K.A.O.S’를 통해 수학 대중화에 힘써온, 옥스퍼드대 수학연구소 김민형 교수의 본격 수학 교양서인 《수학의 수학》이 출간되었다(은행나무 刊). 이 책은 수의 정체에 대한 질문에서 시작해 수학이 인류 과학 발달의 역사와 시간과 공간의 발견에 어떤 역할을 해왔는지 차근차근 증명해나가는 과정을 통해 수학이 인류에게 어떤 선물을 안겨줬는지 깨달음을 얻게 해준다.
수학이 자연(시간과 공간)을 설명해주는 도구이며, 최첨단 현대과학의 기본이라는 사실을 수학적 사유를 통해 보여주는 책으로서 마냥 어렵고 복잡한 학문이라고 생각하기 쉬운 수학이 우리의 삶에 얼마나 밀접하고 필요한 학문인지를 보여준다.

수학의 가장 기초인 ‘수’를 정복함으로써 수학과 자연의 본질에 접근
이 책의 서문은 이렇게 시작한다. 저명한 수학자들이 모여 있는 자리에서 ‘수학’은 발견되는 것인가, 발명되는 것인가, 질문했을 때 프랑스 고등과학원에서 연구하는 막심 콘세비치는 다음과 같이 대답했다고 한다. “뛰어난 수학은 당연히 발견된다. 발명되는 수학도 있으나 그런 수학은 대체로 잊어버리는 것이 좋다.” 김민형 교수도 이에 동의를 표한다. 동시에 수학은 무엇인지, 아주 기초적으로 이야기하면, ‘수’는 무엇인지 질문을 던지고, 이 책을 통해 이야기해보자고 제안한다. 도대체 수는 어떤 것이며 우리는 어떻게 수를 인식하고 분별할 수 있을까.
정수론의 대가인 김민형 교수가 증명과 사유를 진전시키고, 마찬가지로 정수론을 전공한 김태경 박사가 엮은 《수학의 수학》은 구체적인 사례와 흥미를 돋우는 사고의 과정을 통해서 점차 ‘수학의 본질’에 다가간다. 수의 기초부터 시작해서 수의 개념을 재검토하면서 어떤 이유로 인류 역사 속에서 과학적 사고에 필요한 수 체계가 지금처럼 확장되어 왔는지에 대해 살펴본다. 그렇게 얻어낸 결론은 수는 자연에 있고 자연에서 발견된 것이며 자연을 이해하기 위한 시도는 수로 귀결된다는 것이다. 여기서 말하는 자연은 물리학과 양자역학 등 과학의 아주 기본 배경을 말하며, 우리가 살아가는 시간과 공간 그 자체를 말한다.

“수천 년 전에 피타고라스는 ‘모든 것이 수’라는 격언을 남겼었다. 우리가 이 책에서 하고자 하는 이야기는 피타고라스의 이론에 덧붙이는 긴 주석일 뿐이다.” _서문 중에서

제1장 ‘피타고라스와 아르키메데스에서 현재에 이르기까지’에서는 정수의 개념부터 따져본다. 정수 1, 2, 3처럼 셈하기 어렵지 않거나 개념을 이해하는 것이 쉬운 수도 있지만, 수의 체계를 공부할수록 이해하기 어려운 수들이 점점 많아진다. 가령, 처음 배울 때는 음수의 개념만 해도 이해하기 조금 까다롭다. 그런데 한층 더 고등한 사고를 요구하는 것이 무리수 개념이다. 이런 까다롭고 다양한 수의 예를 통해 ‘수는 연산할 수 있는 것이다’라는 소결론을 도출한다. 연산할 수 있다면 모든 것이 수인 것이다.
그리하여 제2장 ‘수의 정체를 찾는 모험’의 마지막 증명에 따라 반도체 소자도 수고, 물질의 입자도 수다. 이 증명 과정을 통해 물리학과 양자역학의 기본 개념을 이해할 수 있다. 제3장 ‘과연 화살은 과녁을 맞힐 수 있을까?’에서는 무한급수의 무한한 합은 유한한 값이 된다는 증명으로 “아킬레우스는 거북을 영원히 따라잡을 수 없다”는 제논의 역설의 허점을 짚어낸다. 그리고 우리가 화살이 활에서 떠나 과녁에 도착할 때까지의 직선 상의 값을 계산할 수 있는 것처럼 시간의 흐름도 수로 보여줄 수 있다는 사실에 도달한다.
제3장에서 유리수와 무리수의 합인 실수의 체계를 가져와 직선 연산에 대해 보여주려 했다면 제4장은 2차원의 실수와 허수, 즉 복소수를 가져와 세계 평면 연산에 대해 증명한다.
제5장 ‘군의 개념과 갈루아 이론이 해낸 업적’에서는 현대수학에서 가장 중요한 개념 중 하나인 ‘군’에 대해서 살펴보고 군의 이론을 정리한 갈루아의 업적에 대해 언급하면서 군론이 현대물리학에 얼마나 중요한 아이디어를 제공했는지 살펴본다. 김민형 교수는 “20세기 현대물리학에서 요구되는 수학적 구조가 19세기에 이미 수에 대한 세밀한 연구를 통해서 개발되어 있었던 사건은 과학 역사의 기적적인 에피소드”라고 평하면서 수학과 과학의 환상적인 조합으로 해낸 인류의 업적에 대해 탄복하는 것으로 마지막 장을 마무리한다.
이 책은 단순히 어렵고 복잡한 수학적 증명을 나열하는 것이 아니라, 수학의 역사에서 수학자들이 발견해왔던 대로 그 사유의 궤적을 좇으면서 결국 수학을 통해 직선, 평면, 시공간을 이해해온 인류 학문의 역사를 이해할 수 있게 돕는다. 수학이 왜 필요한지 궁금한 독자에게 권하고 싶은 책이다.

인류가 수를 통해서 시간과 공간에 대한 인식을 넓혀왔던 이야기를 하고, 수가 무엇인지에 대한 구체적인 질문을 통해서 한번 접근해보려고 합니다. 어려운 공식을 써서 수학 난제를 해결하는 것이 아니라, 단순히 수가 무엇인지에 대한 탐구이니까, 이것은 수에 대한 철학이라고 봐도 좋겠습니다. _김민형 교수

서문 _ 피타고라스의 주석 … 006

1장 피타고라스와 아르키메데스에서 현재에 이르기까지 … 009
2장 수의 정체를 찾는 모험 … 033
3장 과연 화살은 과녁을 맞힐 수 있을까? … 085
4장 평면 연산과 복소수 체계로 만나는 시공간 … 119
5장 군의 개념과 갈루아 이론이 해낸 업적 … 155

참고문헌 … 196